航天论文行星滚柱丝杠小转角运动的动力学分析

　　本篇航天论文根据实际应用中的小转角运动建立了行星滚柱丝杠的数学模型：把行星滚柱丝杠的轴向位移分解为啮合接触弹性变形量和传动轴向位移， 用Hertz接触理论求解了不同载荷下啮合接触弹性变形量， 并推导了行星滚柱丝杠传动关系;在此基础上建立了行星滚柱丝杠的有限元模型， 通过有限元仿真获得了行星滚柱丝杠的动力学响应， 最终获得行星滚柱丝杠小转角下运动特性和动力学特性。

　　推荐期刊：《航天标准化》(季刊)创刊于1983年，由中国航天标准化研究所主办。以从事航天行业的技术领导和广大的工程技术、科技管理和标准化专业人员为主要阅读对象。期刊以宣传国家和行业的标准化工作方针和政策、贯彻技术民主与争鸣的原则，以严谨的态度开展标准化理论研究，研究市场经济下标准化工作发展方向及工作方法，探讨型号研制标准化及产品三化等的意义和作用，目的是促进航天事业的技术进步和发展、实现国防现代化、赶超世界先进水平。

　　关键词： 行星滚柱丝杠;数学模型;有限元模型;动力学响应

　　滚柱丝杠按其用途可分为行星滚柱丝杠(RSM)、 差动式滚柱丝杠及循环式滚柱丝杠， 其中行星滚柱丝杠具有很高的承载能力， 能适应极高的速度加速度， 且具有很高的稳定性[1]， 因此在传动进给系统中得到广泛的应用。 行星滚柱丝杠主要由五部分组成：丝杠、 滚柱、 螺母、 持环及齿轮， 如图1所示。

　　行星滚柱丝杠是把转动运动形式转化为轴向运动形式的机构， 其与行星滚珠丝杠(BSM)结构相似， 区别在于行星滚柱丝杠的载荷传递元件为螺纹滚柱， 而非滚珠， 相比于行星滚珠丝杠， 行星滚柱丝杠的基础表面具有更大的曲率半径， 而且接触表面的数量也较多， 这决定了行星滚柱丝杠拥有高寿命、 大载荷及高速度运行能力。

　　行星滚柱丝杠一般应用在关键的、 高精度机械里， 如医疗器械[2-4]、 航空航天工业[5-6]、 光学装置[7]、 机器人及高精密度机床[8-9]。 国内外对行星滚柱丝杠的研究日趋成熟， 能够得到广泛的工业应用是建立在对行星滚柱丝杠效率、 失效形式以及动态载荷试验的深入研究的基础之上;Velinsky[10]对行星滚柱丝杠的运动进行了研究， 并给出了其效率随螺纹螺旋角及接触角变化规律。 现有的研究主要集中在滚柱丝杠大转角运动特性[11-12]， 对小转角运动中的动力学及受力特性研究还是一片空白。本文首先通过理论分析建立行星滚柱丝杠的数学模型， 从弹性变形及传动关系研究行星滚柱丝杠运行过程;其次建立行星滚柱丝杠的有限元模型， 通过有限元显式算法对行星滚柱丝杠进行动力学仿真， 研究行星滚柱丝杠动力学响应。 最终获得行星滚柱丝杠的运动特性和动力学特性， 为其工业应用提供了依据。

　　1行星滚柱丝杠数学模型

　　行星滚柱丝杠在运行时， 尤其是在小信号的丝杠转动过程中， 其轴向位移可以分为啮合接触弹性变形量和传动轴向位移两部分。

　　1.1啮合接触弹性变形量

　　1.1.1行星滚柱丝杠的赫兹理论模型

　　1896年， Hertz在经典赫兹弹性接触理论基础上， 进一步提出了关于两弹性体点接触的局部应力和变形的经典解[13]， 经典赫兹理论建立在如下假设条件上：

　　a. 两个接触表面光滑， 只能够产生弹性变形， 且服从胡克定律。 对于行星滚柱丝杠， 可以假设各部件的加工表面是光滑的， 在额定载荷工作条件下， 接触点处产生的塑性变形量不超过各转动体当量半径的千分之一， 这样可以认为行星滚柱丝杠工作在弹性与塑性的临界点处。

　　b. 等效接触面的尺寸远小于接触的转动体的表面曲率半径。 行星滚柱丝杠的啮合运动中， 丝杠与滚柱的接触、 滚柱与螺母的接触都属于点接触， 充分接触之后相当于小面接触， 接触面相比接触体曲率半径相当小， 满足假设。

　　c. 考虑接触表面间的法向压力载荷， 不考虑接触表面之间的切向摩擦力。 行星滚柱丝杠属高精度传动装置， 可以忽略各传动部件之间的摩擦力， 把啮合传动过程简化为正压力接触传动。

　　用赫兹接触理论方法求解点接触， 可以采用查表法获得各参数数值， 也可以根据接触模型计算出的主曲率F(ρ)的值， 经过迭代或插值积分得到系数ma， mb， K(e)， L(e)的值， 再代入应力应变表达式中求出接触问题的解。 本文为了获得较精确的赫兹接触理论解， 将结合数值积分、 数值迭代两种方法对赫兹理论的偏心方程进行求解， 得到等效接触椭圆的偏心率， 进而得到接触椭圆长短半轴， 再代入到应力应变公式中得到赫兹理论解。 计算时， 输入的参数有三个：行星滚柱丝杠基本结构参数、 材料属性及点接触法相压力载荷。

　　对于行星滚柱丝杠， 简化的赫兹点接触模型如图2所示。 在载荷Q的作用下， 螺纹啮合接触点将扩展成为一个接触面。 丝杠-滚柱啮合点接触及滚柱-螺母啮合点接触部分可以简化为一个椭圆， 椭圆长轴为2a， 短轴为2b。

　　1.2传动轴向位移

　　行星滚柱丝杠三个转动部件的节圆半径影响相对转速的大小， 各部件的螺纹导程及螺纹旋向决定螺母的轴向进给量。 丝杠与滚柱之间存在轴向位移差， 但由于螺母与滚柱螺纹节距匹配及螺母持环的约束， 滚柱相对于螺母无相对轴向位移， 只做平面转动。

　　1.2.1行星滚柱丝杠无滑移传动

　　行星滚柱丝杠副无滑移传动形式如图7所示， 丝杠与滚柱运动过程中相切于节圆切点B， 滚柱与螺母相切于节圆切点A。

　　由于螺母无周向速度， 故A点周向速度为零;由于丝杠有自转角速度ωS， 故滚柱B点的轴向速度如下式：

　　2 行星滚柱丝杠有限元分析

　　2.1行星滚柱丝杠有限元模型

　　行星滚柱丝杠的结构复杂， 螺纹数量多， 考虑到有限元计算效率， 本文对行星滚柱丝杠的模型进行了简化， 如图9所示， 取等长度的丝杠、 滚柱及螺母接触部分进行建模， 模型中略去了滚柱中心圆柱部分及丝杠中心圆柱部分。

　　考虑行星滚柱丝杠螺纹结构的复杂性， 螺纹接触部分采用四面体网格划分， 设置C3D4网格单元。 每条螺纹面上三层网格， 尽量减少网格数量， 总网格数量为67 944。

　　定义行星滚柱丝杠材料密度为7.8E-9 ton/mm3，弹性模量为210 000 MPa， 泊松比为0.29。 螺纹啮合接触采用“surface-to-surface”小滑移接触类型， 切向库伦摩擦系数为0.3， 法向设置为硬接触。

　　设置两个分析步， 第一个分析步施加预紧拉力，如图10所示， 使螺纹啮合充分接触， 第二个分析步施加丝杠扭矩，如图11所示， 在扭矩作用下使滚柱、 螺母转动。 第一个分析步中释放滚柱及螺母轴向方向自由度， 约束三个部件其他所有自由度， 对螺母施加轴向预紧力， 滚柱和螺母产生轴向位移;第二个分析步在第一个分析步基础上， 释放丝杠、 滚柱及螺母转动方向自由度， 在丝杠扭矩作用下三个部件产生角位移， 滚柱和螺母有轴向位移。

　　2.2行星滚柱丝杠有限元仿真

　　对螺母施加如图10所示的预紧力，对丝杠施加如图11所示的扭矩载荷， 总计算时间为0.001 s。 计算完成后提取两个时间点行星滚柱丝杠应力分布云图， 如图12～13所示。

　　析得到的弹性变形量0.001 6 mm相比， 相对误差为2.5%。 0.000 2 s时刻之后， 滚柱及螺母最大正向轴向位移在0.000 284 8 s时刻达到， 分别为0.001 767 59 mm， 0.003 402 09 mm。 在实际进给传动系统中， 在预紧力作用下的螺母的正向轴向位移需作为补偿引入到运动模型中。

　　图14(f)为螺母轴向位移在0.000 2 s之后随

　　丝杠角位移变化曲线， 即行星滚柱丝杠传动关系曲线。 从图中得到曲线斜率为0.300 010， 与理论分析得到的有滑移条件下的螺母轴向位移随丝杠角位移变化率0.300 882 4符合很好， 误差只有0.29%。

　　3结论

　　本文首先根据实际应用中的小转角运动建立了行星滚柱丝杠的数学模型， 把行星滚柱丝杠的轴向位移分解为啮合接触弹性变形量和传动轴向位移， 用Hertz接触理论求解了不同载荷下啮合接触弹性变形量， 并推导了行星滚柱丝杠传动关系;在此基础上建立了行星滚柱丝杠的有限元模型， 通过有限元仿真获得了行星滚柱丝杠的动力学响应。 主要研究结论如下：

　　a. 在一定预紧力下， 行星滚柱丝杠螺纹啮合处发生弹性变形， 在行星滚柱丝杠精确控制系统的实际应用中应对这部分弹性变形量进行补偿。

　　b. 通过有限元方法获得了行星滚柱丝杠螺纹啮合点接触的应力分布及各部件的动力学响应曲线， 结合理论推导的传动比， 为行星滚柱丝杠在进给系统的实际应用提供了依据。

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