国家级教育论文征稿浅析线性代数的解读

　　摘 要 针对降低线性代数学习难度的问题，文章提出在学习线性代数过程中灵活构造反例以解决问题的思路。通过文献研究法和经验总结法，讨论线性代数中适合运用反证法研究的定义和定理等问题，结合实例指出如何在学习线性代数过程中合理构造反例以理解和掌握理论本质。分析发现，构造反例可为定义的理解、定理的掌握和命题的正误判断提供简捷的思路，提高学习效率。

　　关键词 线性代数 反例构造 定义 定理

　　0 引言

　　线性代数以线性空间为研究对象，涉及行列式、矩阵、矩阵的初等变换与线性方程组等，定义、定理、性质、推论等比较多，难度较大。但是学习线性代数具有很大益处，一方面可以进一步提高抽象思维能力和严密的逻辑推理能力，为进一步学习和研究打下坚实的理论基础;另一方面为立志报考研究生的同学提供必要的线性代数理论知识、解题技巧和方法。并且，线性代数作为一种数学建模方法，是科研工作者必须掌握的重要数学方法。

　　由此可见，线性代数的内容抽象性以及应用重要性，要求学习者能够灵活运用数学方法理解线性代数中的问题。当从正面解决线性代数问题比较困难时，构造反例不失为一种良好的方法。构造反例能够帮助学习者正确理解抽象的概念定义和定理内容，促进学习者对线性代数内容的快速掌握和熟练应用，提高学习效率并帮助取得有效的学习成果。通过具体实例探析构造反例在线性代数学习中的运用。

　　1 反例

　　数学中的反例指符合命题条件，而不符合该命题结论的例子。所构造的反例是建立在数学上已证实的理论与逻辑推理基础上的、并可指出命题不成立的例子。在学习线性代数过程中，可根据定义、定理以及命题构造反例以帮助理解理论本质，促进取得学习成果。

　　2 构造反例利于掌握定义

　　线性代数中的定义凝练、精确，内涵丰富。真正透彻理解并牢固掌握这些定义，需要学习者把定义本身的简短话语扩展，从多方面思考，提炼定义本质。

　　(1)定义：设是由复数组成的集合，其中包含0和1。如果中的任意两个数(可相同)对加、减、乘、除四种代数运算是封闭的，那么就称为一个数域。

　　此定义可以扩展出多个结论，下面示范如何运用构造反例的方法将易混淆的结论分辨清楚。

　　例1 整数集是数域。

　　此结论不正确。整数集合中取两个数2和7，互相进行除法运算会产生分数，不在此集合内，故整数集不是数域。

　　例2 奇数集是数域

　　此结论不正确。奇数集合中取两个数3和7，两者减法运算的结果4不在奇数集合中，故奇数集不是数域。

　　(2)定义： 给定维向量组， ，…，，若存在一组不全为零的实数， ，…，，使得 + + … + = 0，则称， ，…，线性相关;否则，称线性无关。

　　简短几句话，即定义了这个重要的概念。为加深理解，现通过构造反命题的方法来理解这个定义。

　　例1 若有不全为零的个数， ，…，，使 + + … + + + + … + = 0，则向量组， ，…，线性相关，向量组， ，…，线性相关。

　　此结论不正确。例如取 = (0，1) ， = (1，0)， = (0，-1)， = (-1，0)，显然存在，不全为零，使得 + + + = 0。但，线性无关，， 线性无关。

　　例2 如果，，…，线性无关，， ，…，线性无关，则， ，…，， ， ，…，亦线性无关。

　　此结论不正确。例如取 = (0，1) ， = (1，0) ， = (0，-1)， = (-1，0)，，线性无关，，线性无关。但取 = = 1，则 + + + = 0，故可得，，，线性相关。

　　例3 设，，…，和，…，是两个维向量组，如果(+ )+( + )+…+( + )=0成立必需=0，=0，…，=0，则，，…，和，，…，定线性无关。

　　此结论不正确。例如取 = (0，1) ， = (1，0) ， = (0，2)， = (2，0)， + = (0，3)， + = (3，0)，则( + ) + ( + ) = 0成立必需 = 0， = 0。但2 + 2= 0，故，，，线性相关。

　　上述反例不仅给出对结论的判断，而且加深学习者对数域和线性相关性定义的理解，避免再出现此类认识上的错误。

　　3 构造反例利于理解定理

　　在学习过定义的基础上，掌握相应的定理，才能够更好地解决线性代数中的各种问题。学习者会发现线性代数定理特点显著，存在某些规律不同于其他数学科目定理的现象。因此，只有掌握线性代数定理的本质，才能熟练运用与解题。而运用反例恰有利于我们解决这一问题。

　　(1)定理：在矩阵的乘法中消去律不成立，在矩阵的乘法中消去律不成立，即由AX=AY不能得出矩阵X与矩阵Y相等。

　　自学习数学这门学科以来，接触到的乘法运算都是满足消去律的。学习线性代数后，此处矩阵却不满足消去律。思考后发现，其根本原因是矩阵乘法特殊的运算规则，即前一个矩阵的行与后一个矩阵的列中元素对应相乘。直接理解这一原因比较困难，故运用举反例的方法解决这一问题。

　　例1 若AB=AC，且A≠0，则B=C。

　　此命题不正确。例如取，满足A ≠ 0，，。虽然AB=AC，但是B≠C。

　　例2 A2 = A，则A= 0或A=E。

　　此命题不正确。例如取，则A2 =A，但A ≠ 0且A ≠ E。同理可知，由A(XY) = 0，不能得出X =Y的结论。

　　看到这样简单的反例，以上易犯的错误被一举击破，学习者一目了然，有效避免惯常错误。同时，也激发学习者继续思考矩阵运算中消去律成立的条件。进而研究得出使AB=AC B=C的条件是A是可逆的。这样的思考可增加学习者对问题研究的深度和广度，训练学习者的主动思考能力，也增添了学习的趣味。

　　(2)定理：向量组， ，…，(m≥2) 线性相关的充要条件是组内某一向量可由其余向量线性表示。例：如果向量组，，…，中某一向量不能被其余向量线性表示，则，，…，线性无关。

　　此结论不正确。取 = (0，0)，= (0，1)，即有不能被其余向量线性表示，但，却相关。

　　4 构造反例利于判断命题真伪

　　要证明一个命题为假命题，只要构造一个反例来说明命题不成立即可。所以，反例是满足命题题设但不满足命题结论的一个实例，构造反例就是证明某个命题是假命题的一种方法。所构造的反例要求简单、明确、有说服力，从而才能快速准确判断命题真伪。

　　(1)命题：若AB = 0，则A和B中必有一个为零矩阵。

　　此命题不正确的。例如取，，满足AB = 0 ，但A和B均不是零矩阵。

　　(2)命题1：零阵的特征值为0，则特征值为0的矩阵都是零阵。

　　此命题不正确。例如的特征值为0，但是不是零矩阵。

　　命题2：单位阵的特征值为1，则特征值为1的矩阵都是单位阵。

　　此命题不正确。例如的特征值为1，但不是单位阵。

　　若学习者在学习过程中，能够熟练构造反例，则可节约做题时间，提高学习效率。

　　(3)命题： 矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。为此提出以下结论：若矩阵A、B有不同的特征值，则不能对应同一个特征向量。

　　此结论不正确。例如取，，A和B对应的特征值是1和2 ，但它们有同样的特征向量 (1，0)。这个反例直接给出了矩阵中特征值和特征向量的关系，即某一特征向量可对应两个矩阵的两个不同的特征值，也明确了原命题中是一个矩阵的某一特征向量只对应一个特征值。

　　(4)命题：等价向量组的秩是相等的。为此提出以下结论：如果，，…，和，，…，的秩相等，则两个向量一定等价。

　　此结论不正确。例如取Ⅰ：=(1，0，0，0)，=(0，1，0，0)，Ⅱ：=(0，0，1，0)，=(0，0，1，1)，其中向量组Ⅰ的秩是2，向量组Ⅱ的秩是2，但是Ⅰ与Ⅱ不等价。此反例直接指出原命题的逆命题不成立，无需繁琐文字证明。

　　(5)命题：含有个未知数个方程的线性方程组

　　有解的必要条件是行列式

　　，但不是充分条件。

　　此命题正确。例如方程组，虽然行列式，但是此方程组无解。此时，这一反例恰当地强调了命题中的“必要条件”，加深学生理解与记忆，以免判断此类方程组是否有解时再出现错误。

　　以上几个例子说明反例对抽象的线性代数理论中的命题结论给了必要的补充和完善，有利于学习者理解定理的本质，达到灵活运用定理以辅助解题的目的。

　　5 结论

　　综上所述，构造反例是一个快速而无规则的探索性过程，对学习者有不可估量的裨益，适用于各个章节的理论当中，在线性代数中的地位是不容忽视的。论文网站一方面，构造反例有利于学习者准确理解定义和定理，提高学习效率，促进养成发现问题、纠正错误和解决问题的学习习惯。另一方面，构造反例有利于培养从多方面、多角度认识问题和解决问题的习惯，增强思维敏捷性和思维判断力。作为21世纪的大学生，应当积极培养自主学习能力和独立思考能力，尤其培养创造性思考能力。要达到培养这些能力的目的，应当重视构造反例这一重要途径。因此，在学习线性代数的过程中，应当合理构造反例，以激发兴趣、提高效率和广开思路。

　　参考文献

　　[1] 许建平.巧借反例法提高教学实效[J].考试周刊，2013.46：68-69.

　　[2] 孙兵.线性代数教学中的反例构造[J].数学理论与应用，2011.2：39-40.

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