常微分方程理论在“数学物理方程”课程中的应用

　　［摘要］偏微分方程求解既是“数学物理方程”课程教学的主体内容，又是课堂教学的重难点。求解偏微分方程的方法有很多，如特征线法、波的反射原理、分离变量法、格林函数法、傅里叶变换、拉普拉斯变换等。学会求解一些简单的偏微分方程是数学专业学生学好“数学物理方程”课程乃至为以后继续深造打下基础的关键。因此，揭示偏微分方程求解方法中所蕴含的数学思想，帮助学生系统而深入地掌握求解的方法显得尤为重要。以方程特殊形式解的求解、分离变量法、傅里叶变换法为例，结合具体的定解问题求解来阐述将偏微分方程问题化归为常微分方程问题这一思想在偏微分方程求解中的应用。

　　［关键词］研究型教学；数学物理方程课程；常微分方程理论

　　一、引言

　　“数学物理方程”课程既是数学与应用数学专业的一门重要专业课，也是物理、力学等理工科专业的基础课程。该课程的研究对象是一些具有实际应用背景的偏微分方程。课程的主要内容是介绍如何将物理、力学和工程技术等应用学科中的现象和实际问题通过数学建模的过程转化为偏微分方程定解问题，求解这些定解问题的基本方法，研究解的性质的技巧，利用理论分析结果解释一些物理现象或解决实际问题。作为一门应用性较强的课程，“数学物理方程”课程的教学目标不仅需要让学生理解和掌握偏微分方程的基本概念、求解方法和理论，更应培养学生运用数学工具解决实际问题的能力，从而提高学生的科学素养。在本科生课堂教学中，如何教会学生求解偏微分方程是教学的一大重点和难点。实际上，求解一些简单的偏微分方程的方法有很多，如特征线法、波的反射原理、分离变量法、格林函数法、傅里叶变换、拉普拉斯变换等。系统掌握这些方法的关键在于深刻理解其中所蕴含的数学思想。本文将以特殊形式解的求解、分离变量法、傅里叶变换方法为例，结合具体的定解问题求解来展示将偏微分方程问题化归为常微分方程问题这一思想在偏微分方程求解中的应用，并启发学生深入思考以下问题：为什么常微分方程理论可以应用于求解偏微分方程；利用分离变量法求解偏微分方程的关键点是什么；傅里叶变换作为一种特殊的积分变化为什么可以用于求解偏微分方程；等等。对这些问题进行深入的探讨，不仅可以使学生加深对偏微分方程知识的理解，而且有助于发现和深刻认识所学的不同数学知识之间的内在联系，进一步提升自己的数学能力。

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　　二、具体实例

　　在“数学物理方程”课程中，将偏微分方程转化为常微分方程进行处理是求解偏微分方程问题的常用思想之一，由此可见常微分方程理论在求解偏微分方程中起着至关重要的作用。下文将从求特殊形式的解、分离变量法、傅里叶变换三个方面介绍常微分方程理论在求解偏微分方程问题中的应用，并分析其本质思想。

　　（一）求偏微分方程的特解

　　“数学物理方程”课程主要研究三类经典的偏微分方程，即波动方程（双曲型方程）、热传导方程（抛物型方程）和拉普拉斯方程（椭圆型方程）。掌握这三类方程的求解方法是“数学物理方程”课程学习的重点之一。众所周知，对于大部分的数学物理方程，我们都无法求出其精确的解析解。但是对于一些方程，我们可以找到具有某种特殊形式的解，如行波解、自相似解、径向对称解等。对这些特解的研究有助于我们更好地了解方程解的性态，进而解释方程所描述的物理现象。下面通过实例说明在求解三类经典偏微分方程的某些特解时，往往需要借助常微分方程理论。

　　（二）分离变量法

　　分离变量法是求解偏微分方程初边值问题的一个重要方法。通俗地说，其核心思想是将方程的解（多元函数）的变量进行分离，即写成若干个只依赖于一个变量的函数之积，由此将偏微分方程的定解问题简化为若干个常微分方程的边值问题。下面我们以弦振动方程的定解问题为例来具体说明这一理论。

　　（三）傅里叶变换方法

　　傅里叶变换在数学领域和工程技术方面有着广泛的应用。作为数学工具，傅里叶变换是求解偏微分方程的有力工具。对于初学者自然会有如下疑惑：为什么能够利用傅里叶变换来求解偏微分方程，其本质思想是什么，具体的思路是怎样的，等等。为了更好地回答这些疑问，首先我们简单回顾一下傅里叶变换的定义及其相关性质[２]。

　　三、结语

　　本文借助实例阐述了将偏微分问题化归为常微分问题这一思想在偏微分方程求解中的应用，架构了偏微分方程课程与常微分方程理论之间的桥梁。本文所采用的实例是基于三个基本的数学物理方程，但又相对接近于偏微分方程研究的前沿。比如，与方程特殊形式解的求解密切相关的行波解研究和剪切流研究（行波解和剪切流都是特殊形式解），一直是偏微分方程领域的热门课题；傅里叶变换方法所涉及的傅里叶分析工具在当前偏微分方程研究中发挥着重要的作用。“数学物理方程”作为一门兼具较强的专业性和应用性的课程，无论在纯粹数学还是应用数学上都发挥着越来越重要的作用。但是由于该课程内容丰富，问题求解方法多样，涉及的计算烦琐，需要的数学工具十分复杂，初学者往往会感到难以适应，继而望之生畏。因此，如何透过抽象的概念和复杂的计算，让学生更好地领悟课程的精髓显得极为重要。为此，在“数学物理方程”课程的教学过程中必须深入浅出，注重剖析各类方程的特征，比较各种方法的异同，以及提炼解决问题的核心思想。此外，在具体教学中还应尽可能多地将偏微分方程理论与常微分方程、泛函分析、积分变换等课程内容串联起来，启发学生独立思考和联想迁移，这样不仅可以提高学生分析和解决问题的能力，也能培养学生融会贯通和探索发现的能力。

　　参考文献

　　［1］丁同仁.常微分方程教程［M］.1版.北京:高等教育出版社,1991.

　　［2］朱长江,邓引斌.偏微分方程教程［M］.北京:科学出版社,2005.

　　［3］谷超豪,李大潜,陈恕行,等.数学物理方程［M］.北京:高等教育出版社,2012.

　　危苏婷

《常微分方程理论在“数学物理方程”课程中的应用》

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