关于高三数学二轮复习的几点思考

　　【摘要】正送走新春的声声爆竹，以“系统掌握基础知识、正确理解基本概念、深刻体会基本思想、灵活运用基本方法”为主旨的一轮复习已经结束，高三数学进入了二轮复习阶段.

　　【关键词】高三数学; 模块化; 系统化

　　学生在经过了一轮模块化、系统化的复习后，终于进入了二轮复习，但在二轮复习中许多学生反映二轮复习中的题目比一轮复习中的难，甚至有时候拿到题目根本无从下手.

　　笔者就本学期一节高三理科二轮复习的课堂教学作一小结与反思.

　　课堂教学过程简单记录如下:

　　师: 请同学们看一下附加题部分的第 23 题.题目如下: 23. 已知数列{ an } 满足: a1 = 1，对任意的 n∈ N* ，都有 an + 1 = a + 1 n2 ( ) + n an + 1 2n .

　　( 1) 求证: 当 n≥2 时，an≥2;

　　( 2) 利用“x > 0，ln( 1 + x) < x”，证明: an < 2e 3 4 ( 其中 e 是自然对数的底数) .

　　好的，那么请一名同学上黑板前来，板 演 一 下 解 答过程.

　　师: 再给同学们几分钟思考一下第( 2) 问，思考一下你能想到哪些方法或者模型对解答该题有帮助的. 不一定要有完整的思路，先要一个想法.

　　生甲: 该题要证: an < 2e 3 4 ，从正面直接入手不易，鉴于第一问中已经使用了数学归纳法证明，易知第二问中证明不会采用数学归纳法证明. 同 时，借 助 于 条 件“x > 0， ln( 1 + x) < x”，可以想象到该题应该与自然对数 e 建立起关系，故而即可证明 ln an 2 < 3 4 即可.

　　师: 刚才甲同学说得不错，尤其是他说不会采用数学归纳法来证明的原因.

　　这时候有几个比较优秀的学生回答道: 用放缩法，教师顺势请了其中一位同学回答.

　　生丙: 采用放缩法，易知 1 2n 不可舍去，故而可以将其一并并入 1 + 1 n2 + n 中，构造如下不等式: “an + 1 = 1 + 1 n2 ( ) + n an + 1 2n ≤ 1 + 1 n2 + n + 1 ( ) 2n an”.

　　其余学生们听得津津有味，而且很赞成此种做法，虽然这种做法不对，但是教师没有给予否定，而是沿着学生的思路( 1) 开始了规范证明的板书.板书内容大致如下:

　　思路 ∵ an +1 = 1 + 1 n2 ( ) + n an + 1 2n ≤ 1 + 1 n2 + n + 1 ( ) 2n an ( n≥1) ， ∴ an + 1 an ≤1 + 1 n2 + n + 1 2n ， an +1 = 1 + 1 n2 ( ) + n an + 1 2n < 1 + 1 n2 + n + 1 ( ) 2n an ( n≥2) ， ∴ an + 1 an < 1 + 1 n2 + n + 1 2n ， lnan + 1 - lnan < ln 1 + 1 n2 + n + 1 ( ) 2n < 1 n2 + n + 1 2n = 1 n( n + 1) + 1 2n ( n≥2) ， ∴ lna3 - lna2 < 1 2 × 3 + 1 22 ， lna4 - lna3 < 1 3 × 4 + 1 23 ， …… lnan - lnan - 1 < 1 ( n - 1) n + 1 2n - 1 ( n≥3) ， ∴ lnan - lna2 < 1 2 × 3 + 1 3 × 4 + … + 1 ( n - 1) n + 1 22 + 1 23 + … + 1 2n - 1 = 1 2 - 1 n + 1 4 · 1 - 1 2n - 1 1 - 1 2 = 1 - 1 n - 1 2n - 1 < 1 ( n≥3) ， ∴ ln an 2 < 1，即 an < 2e.

　　此时，很多学生在发出感叹的时候，感觉自己已经无能为力了.做到这里的时候，学生原本以为结论会被证明完成，再一次感到惋惜，同时大家对于该题的讨论也开始越来越多，发现结论的范围一步步地在逼近了，因此，教师继续给予学生思考时间，鼓励他们去尝试.

　　课后反思:

　　本节课结束后，教师询问一些学生，对于该题的做前思考，以及做后感悟. 学生一致反映该题的确是“好题”，估计学生口中的“好题”有两层意思，一是该题形式新颖，构造巧妙，思维得到了拓展，二是学生真正了解了解题思路，领会了思考方式，以及掌握了解决问题的方法.

　　【参考文献】

　　[1]王大绩. 二轮复习法提前看[J]. 高校招生，2009 ( 2) : 86 - 90.

　　[2]戴伟生. 高考备考二轮复习中测评课教学原则及策略[J]. 生命世界，2009( 3) : 103 - 104.

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