函数极值的理论及在高等数学中的应用研究

　　［摘要］随着科学技术在跨领域发展过程中的应用，社会科学的综合性使函数极值在经济领域有了更为广泛的应用价值，在经济领域中，函数极值可以有效地解决一些不同条件下投入与产出之间的比例关系问题，可以让最小的投资产出最大的回报，提升效率是函数极值发挥的一个重要价值，既保障了利润最大化，同时又提升了效率，解决了实际的难题，具有现实社会意义。相关的经济问题转化是用函数极值来解决，就需要对函数极值的理论及其在高等数学的应用进行更深入的研究和探索。在一元函数极值的基础上，分析了其充要条件和相关定义，同时，在研究充重要条件和二元函数极值定义的基础上，也进一步分析二元函数极值的定义及充要条件，并在此基础上给出了一元函数极值及二元函数极值充要条件的证明。在研究中既运用了导数，又在讨论函数的定义过程中引申了函数极值的充要条件，然后通过具体举例分析的方式，探讨企业最小投入增加企业利润最大化等。

　　［关键词］极大值；极小值；驻点；成本；利润

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　　一、函数的极值

　　函数极值的分析，就是要基于一元函数极值和二元函数极值的相关定义，及其相关的必要条件和充分条件，进一步探索其应用价值。

　　（一）一元函数极值的定义

　　定义1：当y=（fx）在x0某一邻域内，则不同于x0的任意点x都有：（1）（fx）（fx0），那么称（fx0）是（fx）的极小值，x0称之为（fx）的极小值点。

　　（二）函数极值存在的条件分析

　　1.必要条件定理若函数（fx）在x0可导，而且在x0处可以得到极值，那么f（′x0）=0。证明：假设（fx）在x0可导，（fx0）是极大值，由极大值定义知，在x0的某邻域内部，对于任意x≠x0，均有（fx）x0时，（fx）-（fx0）x-x0>0；那么当x0；那么当x>x0时，f′（x0）x0时，f′（x0）>0，那么（fx）在点x0可以得到极小值（fx0）；（3）若x从x0左侧变化到右侧时，f（′x0）不变号，那么（fx）在x0处无极值。

　　3.极值存在的第二充分条件定理假设（fx）在点x0的某领域内部一阶可导，而且f（′x0）=0，f（″x0）≠0（1）若f（″x）0，那么（fx）在x0可以得到极小值。证明：由于f（″x）0那么当x>x0时，f（′x）<0由以上分析可以知道，（fx0）是（fx）的极大值。

　　二、关于二元函数的定义和极值的分析

　　（一）定义

　　定义2：若函数（fx，y）在点M（0x0，y0）的某个领域内部成立不等式（fx，y）≤（fx0，y0）那么称（fx，y）在M0取到极大值（fx0，y0），点M（0x0，y0）称之为函数（fx，y）的极大点；类似地，如在点M（0x0，y0）的某个邻域内部成立不等式（fx，y）≥（fx0，y0）那么称（fx，y）在点M0取到极小值（fx0，y0），点M0称之为函数（fx，y）的极小点。

　　从定义可见，若（fx，y）在点M0有一极值，那么，固定y=y0后的一元函数（fx0，y0）必在点x0有极值。则：鄣（fx，y0）鄣x｜x=x0=0同理可知鄣（fx0，y）鄣y｜y=y0=0，对（fx，y），则在点M（0x0，y0）存在极值的则必须具体如下条件：鄣（fx0，y0）鄣x=鄣（fx0，y0）鄣y=0所以df（x0，y0）=0。

　　（二）二元函数极值的定义分析

　　定义1假设函数z=（fx，y）在点（x0，y0）的某一邻域内部有定义，对于该邻域内部不同于（x0，y0）的任意一点（x，y），如果（fx，y）（fx0，y0），那么称函数在（x0，y0）有极小值；极大值、极小值统称之为极值。使函数可以得到极值的点称之为极值点。定理1（必要条件）假设函数z=（fx，y）在点（x0，y0）具有偏导数，而且在点（x0，y0）处有极值，那么它在该点的偏导数必然是零，即f（xx0，y0）=0，f（yx0，y0）=0。定理2（充分条件）假设函数z=（fx，y）在点（x0，y0）的某邻域内部有直到二阶的连续偏导数，又f（xx0，y0）=0，f（yx0，y0）=0。令fxx（x0，y0）=A，fxy（x0，y0）=B，fyy（x0，y0）=C（1）那么AC-B2>0时，函数（fx，y）在（x0，y0）处有极值，而且那么当A>0时有极小值（fx0，y0）；A<0时有极大值（fx0，y0）；（2）那么当AC-B2<0时，函数（fx，y）在（x0，y0）处没有极值；（3）那么当AC-B2=0时，函数（fx，y）在（x0，y0）处可能有极值，也可能没有极值。

　　三、函数极值在高等数学中的应用方式

　　（一）最小平均成本

　　假设成本函数是C=C（Q）平均成本函数是C（Q）=C（Q）QC（′Q）=C（′Q）Q-C（Q）Q2若使平均成本在Q0处可以得到极小值，应有C（′Q0）=0，即C（′Q0）Q0-C（Q0）=0，C（′Q0）=C（′Q0）例2假设某产品的成本函数是C（Q）=14Q2+3Q+400（万元），问产量是多少时，该产品的平均成本最小？求最小平均成本。解：平均成本函数是C（Q）=14Q+3+400QQ∈（0，+∞）C（′Q）=14-400Q2令C（′Q）=0，得驻点Q=40，由C（″Q）=800Q3>0可知C（Q）在Q=40处有极小值，且是（0，+∞）内部的唯一极值，即是最小值。C（Q）=14*40+3+40040=23（万元）所以：产量是40单位时，成本应该是23万元/单位。例3假如又一个长方体的整体容积为V，如果要设计用料最少？这一题目的要求也就是达到材料的最小化的内容，达到建造长方体盒子的目的。解：假设长度为X，宽是y，那么高是Vxy，整体面积为：S=2（xy+Vx+Vy）.这是关于x，y的二元函数。定义域是D=（鄣∈x，y）｜x>0，y>0.由鄣S鄣x=2（y-Vx2），鄣S鄣y=2（x-Vy2），得驻点（V3姨，V3姨），驻点就是S；当x=y=z=V3姨时，函数S可以得到最小值236V时，所使用的材料最少。

　　（二）工厂常规的利润最大化的计算途径

　　如果假设函数R（Q）是企业的收益，函数是C（Q）是企业的最少成本，由此计算，工厂在常规的生产过程中，怎样实现最高的利润，函数为：L（Q）=R（Q）-C（Q）L（′Q）=R（′Q）-C（′Q）是使利润达到最大，其L（′Q）=0，有R（′Q）=C（′Q）例1某一企业生产的产品的整体需求函数为Q，问：企业生产的产量和价格达到多少时，该企业的商品的成本可以达到C（Q）=5Q+200（万元），收益为：R（Q）=10Q-0.01Q（2万元），问：利润达到最大化如果用材？解：L（Q）=R（Q）-C（Q）=5Q-0.01Q2-200Q∈（0，+∞）L（′Q）=5-0.02Q令L（′Q）=0，得驻点Q=250（台），由L″（Q）=-0.02<0知函数有极大值，即L（250）=425（万元）由于上解题思路可以得到，250台以上企业才能使利润达到425万的最大值。例2某一企业整体需求函数为P=240-0.2Q，计算其成本函数则可以为，C（Q）=80Q+2000（元），问：产品利润最大化同时计算出最大利润？解：收益函数是R（Q）=P（Q）=Q（240-0.2Q）=240Q-0.2Q2Q∈（0，+∞）利润函数是L（Q）=160Q-0.2Q2-2000L（′Q）=160-0.4Q令L（′Q）=0，得驻点Q=400，由L（″Q）=-0.4<0由此可以得到函数在Q=400处可以得到极大值，由此可以得到，L（400）=160×400-0.2×4002-2000=30000，P=240-0.2×400=160（元）因此那么当产量是400单位，价格是160/单位时，最大利润是30000元。

　　四、结束语

　　函数极值在现实生活中有很多的应用价值，特别是函数极值在高等数学中的应用更为广泛。通过函数极值相关理论和实用中的变化情况，能够获得解决问题的最佳策略，特别是通过对极值的分析和运用，能够把握经济市场形势下获得最佳的经济效益。通过探究函数极值与现实生活的密切关系，和实际生活存在十分密切的联系，以及函数极值的理论在高等数学中的应用，在解决生活中遇到的各种问题时，我们能够将自己所学习到的数学知识运用其中，进而可以有效地解决多种难题。经过以上讨论，我们可以总结出，在函数的极值的求值过程中，常规需要解决其最大和最小值问题之间的关系，特别是在实际问题解决中，要根据所遇到的实际问题，一方面要判断其最大值和最小值是否存在，另一方面要根据所一致的条件比较及复杂条件和充分条件判断最终的方法和结果。在这个过程中必须要结合二元函数的基本概念和相关理论，同时运用偏导数的概念和计算方法，在运用过程中，要将一元函数和二元函数进行比较和对照，弄清之间的区别和相互联系，看看两者之间的差异性，以及两者之间存在的具体联系，可以更好地理解和掌握一元函数和二元函数的内涵以及增强实际运用能力，能够在实际生活中运用一元函数和二元函数解决问题。

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　　叶美

《函数极值的理论及在高等数学中的应用研究》

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