高等数学教学培养大学生的应用能力探究

　　摘要:本文主要是从积极的方面介绍高等数学培养大专学生应用能力提高方面做个探讨，希望更多的大专学生能学习到高等数学课程，领悟到高等数学的核心思想，在工作岗位上有所作为。高等数学核心思想是极限，其主要研究对象是函数，函数是两个量之间的关系。高等数学主要研究方法是三大运算，首先是极限运算，极限运算解决函数连续问题。其次是函数的微分运算，微分运算是解决函数单调性，最值和函数成图等问题。最后是积分运算，积分运算是解决连续区间内累积和的问题。高等数学课程的特点是观点鲜明，利用图表，有难度更有理有据，对大学生应用能力的培养和提高具有很大的帮助作用。

　　关键词:高等数学课程;微分运算;积分运算

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　　1函数极限定义与应用标准探究

　　在高等数学中，我们接触到的第一个定义就是函数极限的定义，这个定义是高等数学的核心思想，我们先来重温一下函数极限的定义。

　　定义:设函数f(x)在xb＞0上有定义，A为一个常数，如果对于任意给定的正数ε(无论多么小)，总存在正数x＞b，使7得当xx时，有|f(x)－A|＜ε，则称函数f(x)当x→∞时极限为A。

　　函数极限定义极其严缜。定义首先给极限制定了一个标准，这个标准就是定理中任意给定的一个无穷小量ε，给定了这个标准后定义又提供了检验该标准的方法，这个方法就是找到某一正数x，从x以右的所有的函数f(x)减去某个常数A的绝对值都要小于给定的这个标准小量。

　　从极限观点来看，无穷小量ε是极限为零的一个变量。古代人不知道如何求圆的周长，想了很多方法，我国古代数学家刘徵先从求圆内接六边形的周长开始，然后逐渐把边数扩大的方法来求圆的周长大小。刘徵每求一次就算一下正多边形周长与直径的比，用一个分数来表示，这样反复做了多次后，刘徵得到一个分数系列。刘徵的结论是圆内接正多边形的边数越多，圆内接正多边形的周长与圆周就越接近，所得到的分数就越接近圆周率π。

　　我们可以很清晰的认识到，无论正多边形的边数如何，它都是一个圆内接的正多边形，不是圆。但是刘徵的方法是可以操作的，做出来的结果与预先设定的标准是无限接近的。极限只能是在有标准的条件下可操作的方法中过程的无限接近，而不是达到。这种思想方法可以称为高等数学核心思想。这种思想贯穿了微积分的求极限，求导数，求积分的运算之中。它是一次革命性的思想转变，表现为标准可以检验，方法可以操作，由此及彼，此不一定是彼，彼也不一定是此。抓大放小，抓主要矛盾，研究主要实体。

　　函数极限的思想从根本上改变了我们中学数学中呆板的举一反三的学习模式，它启发我们，做任何一件项目，先要制定出项目的应用标准，然后在此标准下寻找到行之有效的可以操作的方法。如果制定项目标准是一种创新思想，在这种思想下采取行之有效的操作方法是一种创业能力，我们职业教育培养的人才，就应该是这种具有创新思想创业能力的应用型人才。

　　2三个导数中值定理在函数中证明及计算

　　高等数学中第二个运算是微分运算，微分运算中有三个中值定理，分别是罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理，这三个中值定理互为补充，再配合表格图形，对函数f(x)的研究如庖丁解牛一般准确。

　　先看罗尔定理;设函数f(x)满足:(1)在闭区间[]a，b上连续。(2)在开区间(a，b)内可导。(3)若有f(a)=f(b)。则至少存在一点ξ∈(a，b)，使f'(ξ)=0。

　　我们认真解读一下罗尔定理，罗尔定理的前二个条件是函数连续，或有可去间断点，第三个条件是重点，函数只要有两处函数值相等，那么在连续函数f(x)中就存在着极值点，通过f'(ξ)=0把所有的极值点找出来，就确定了函数增减区间的分界点。这些点分布在坐标轴上就是函数的区间分界点。

　　我们找到了增函数和减函数的区间以后，如何判断区间内函数是增函数还是减函数呢?拉格朗日中值定理给予了很好的回答。拉格朗日中值定理:设函数f(x)满足:(1)在闭区间[]a，b上连续。(2)在开区间(a，b)内可导。则至少存在一点ξ∈(a，b)，使f'(ξ)=f(b)-f(a)b-a。在f'(4ξ)=f(b)-f(a)b-a中，ba，若f(b)f(a)，则函数单调增，反之，函数单调减。拉格朗日还给我们提供了一种思路，若在一段区间内函数都是增函数，我们就可以用求导的总法来求解函数中的不等式和恒等式。例如，证明当x1时，exex。

　　这类题目在中学数学中是难题，而应用拉格朗日中值定理，我们只需设f(x)=ex-ex，在(1，")内f(x)单调递增即可。证明过程如下。证明:设f(x)=ex-ex，f(1)=e1-e1=0。又f'(x)=ex-e，e=2．71，∴exe，f'(x)0，f(x)0，exex。我们可以利用中值定理，通过表格来清楚地知道函数的增减区间和增减的性质。

　　3五个函数贯穿三种计算方法之中

　　在高等数学中有五个基本初等函数贯穿始终，这五个基本初等函数是幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。高等数学课程看起来问题多，思绪复杂，但贯穿整体的就是这五个基本初等函数及其组合而成的复合函数在极限运算中、微分运算中、积分运算中的应用和变化。我们学习者掌握了这条主线后就可以在学习中进行比较，使学习变得简单起来。

　　五个基本函数在极限和微分运算中较为简单，不多重复，在分部积分法中有两两相乘的积分情况。u(x)v(x)dx=u(x)v(x)－v(x)du(x)它主要的方法和技巧就是把较难的积分u(x)dv(x)转化为容易积分的v(x)du(x)，这不是一种偷梁换柱的耍滑头，而是在工作中用简单的技巧代替复杂的困难，是一种智慧，也是一种工作能力的体现。

　　分部积分法的关键是u(x)和dv(x)的认识和分配，做好了事半功倍，开卷有益，一举拿下，用得不好，则难上加难，雪上加霜。

　　此处如何选择呢?有个非常简单的口诀，三指动，反对不动，三指相遇，循环决定。

　　4高等数学习题本质上是逻辑能力的培养

　　高等数学课在本质上也是一门习题课，我们有些学生上课听得懂课，下课也会教其他学生，但是考试起来就会出错。追究其原因，主要是缺乏练习。数学课程只有练习才会。多练才能出彩，如果懂了原理而缺乏练习，最终结果还是不会。

　　高等数学的习题其实质上是一种逻辑思维的锻炼，习题过程是一种语言模式，一行一行的作业过程写下来，让看作业的老师和同学看懂了，理解了，其中的逻辑关系一定要正确，逻辑思维我们都能接受。

　　我们的高校，有很多学校没有开设逻辑课程，我们大学生的逻辑能力大部分是从高等数学的习题练习而来。

　　数学练习的格式是一种逻辑推理，在高等数学中有时候遇到一些较难解决的题目时则要运用一些特殊的方法，例如构造法来解题。现举二例。

　　5应用数学建模来促进同学们应用数学的能力

　　高等数学不是大学生在大学的象牙塔里玩的数字游戏，我们要把生活中的数学引入到他们的学习之中，让他们在学习之中会应用数学知识建立数学模型，提高和促进他们应用数学知识的能力。我们由浅而深的介绍两种建立数学模型的例子。

　　(1)铁路钱上AB段的距离为100公里，工厂C在距A20公里处，AC垂直于AB，为了运输需要，要在AB钱上选定一上D修筑一条公路，已知铁路与公路每千米货运的运费之比为3∶5，为了使产品从工厂运到消费点B的运费最省，问D点应选在何处?解:画图略设D点在AB铁路上，D距A点x公里处。依题意有，BD=100-x，CD=202槡+x2。设总的运费为W，则铁路运费为3K，公路运费为5K(K为常数)。则w=3k(100－x)+5k202槡+x2(0!x!100)。求W的最小值，只需令W的导数=0。有W'=-3k+5kxx2槡+400=0得x=15km，W(0)=400k，W(15)=380k，W(100)=5k1002槡+202，从而当x=15时，W最小。我们可以选择2013年全国大学生数学建模竞赛的D题为例。D:在公共自行车的服务系统中，自行车的租赁的站点位置及各站点自行车锁桩和自行车数量的配置。现为浙江省温州市鹿城区公共自行车管理中心的20天借车和还车的数据。在所给出的所有站点每天车辆借还情况的已知数据中，分别统计出每一个站点每天的借还车频次和每一个站点的20天的总的借还车频次;其次对所有站点的20天的总的借还车频次的多少排序;最后对每次用车的时间作统计并分析出其分布情况。

　　(2)从已给出的数据中，统计20天中每天使用不同借车卡的数量，并统计每张借车卡所累计借车次数的分布情况。

　　(3)利用所给数据找出所有站点使用公共自行车数最大的一天。①定义两个站点之间的距离，找出自行车借车后还车之间距离最短的站点和距离最长的站点。即用时最少的两个站和用时最长的两个站;其次统计出借还车在同一站点且用时超过一分钟的情况。②统计出借还车频次最多的站点并对借车还车时刻和使用时间长短作出分布图。③找出各站点的借车和还车高峰时段，列表出高峰时段各站点的借车频次和还车频次;并且归类出具有共同借车和还车高峰时段的站点。

　　(4)利用统计结果中的信息，提出对目前公共自行车服务系统站点的设置和锁桩数量的配置的建议。

　　(5)找出公共自行车系统的运行规律，并对此提出改进建议。

　　6结语

　　这个题目限于篇幅我们就不展开讨论了。笔者从2005年开始带领学生参加大专组的数学建模比赛，大专组数学建模比赛主要做C题和D组，两个题目中一个题是希望学生利用数学公式进行解题，一个题是希望学生从优化角度进行解题。两个题都要进行数据处理，两个题中的每个小问题又牵涉许多小模块的数据知识点。例如插值，进行预估的最小二乘法，线性回归补充某个数，两个量的比较，期望值的求法，等等，学生们只要在论文中对题目中的知识点有所回应，有所计算，都可以取得不错的成绩。全国大学生数学建模比赛应用性强，起点高，拓宽视野，有利于三人团队合作，真的是一次参赛，学生终生受益。

　　参考文献:

　　［1］闫振荣．如何处理微积分中的分部积分法．教育教学研究论丛，1999:159-160．

　　［2］许克威．应用构法解决疑难题．大学时代，2008(11):58-59

　　许克威

《高等数学教学培养大学生的应用能力探究》

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